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福建医科大学研究生-谁有三角函数积化和差和差

文章来源:    时间:2018-12-13

 

  在应用和差化积时,必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名,必须用诱导公式化为同名;若是高次函数,必须用降幂公式降为一次

  最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值域都是[-1,1],其和差的值域应该是[-2,2],而积的值域确是[-1,1],因此除以2是必须的。

  也可以通过其证明来记忆,因为展开两角和差公式后,未抵消的两项相同而造成有系数2,如:

  无论乘积项中的三角函数是否同名,化为和差形式时,都应是同名三角函数的和差。这一点主要是根据证明记忆,因为如果不是同名三角函数,两角和差公式展开后乘积项的形式都不同,就不会出现相抵消和相同的项,也就无法化简下去了。

  仍然要根据证明记忆。注意两角和差公式中,余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积,正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。所以反过来,同名三角函数的乘积,化作余弦的和差;异名三角函数的乘积,化作正弦的和差。

  这是积化和差公式的使用中最容易出错的一项。规律为:“小角”β以cosβ的形式出现时,乘积化为和;反之,则乘积化为差。

  由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。如果β的形式是cosβ,那么若把β替换为-β,结果应当是一样的,也就是含α+β和α-β的两项调换位置对结果没有影响,从而结果的形式应当是和;另一种情况可以类似说明。

  当然,也有其他方法可以帮助这种情况的判定,如[0,π]内余弦函数的单调性。因为这个区间内余弦函数是单调减的,所以cos(α+β)不大于cos(α-β)。但是这时对应的α和β在[0,π]的范围内,其正弦的乘积应大于等于0,所以要么反过来把cos(α-β)放到cos(α+β)前面,要么就在式子的最前面加上负号。

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